ECMT2150  INTERMEDIATE  ECONOMETRICS  
Week  1  Tutorial  
Review  of  Probability  and  Statistics  
Question  1:  
Express  the  following  in  summation  notation:  
a.   " + $ + % + & + '  
b.   " + 2$ + 3% + 4& + 5'  
c.   "$ + "$ + $$ + $$ + %$ + %$ + ⋯+ &$ + &$  
Question  2:  
Define  the  average  (or  mean)  as   = "/ 0/01" .    Show  that:  
a.   (0 − ) = 0/01"  
b.   (0/01" − )0 = (0 − )$/01"   
Question  3:  (Wooldridge  Appendix  A  Q.  10):  
Suppose  that  in  a  particular  state  a  standardized  test  is  given  to  all  graduating  high  
school  students.  Let  score  denote  a  student’s  score  on  the  test.  Someone  discovers  
that  performance  on  the  test  is  related  to  the  size  of  the  student’s  graduating  high  
school  class.    The  relationship  is  quadratic:  
  = 46.5 + 0.082 ∗ − 0.000147  $  
a.   How  do  you  literally  interpret  the  value  45.6  in  the  equation?    By  itself,  is  it  of  
much  interest?  Explain.  
b.   From  the  equation,  what  is  the  optimal  size  of  the  graduating  class  (i.e.  the  class  
size  that  maximizes  the  test  score)?  (Round  your  answer  to  the  nearest  integer.)  
What  is  the  highest  achievable  test  score?  
c.   Sketch  a  graph  that  illustrates  your  solutions  in  part  b.  
d.   Does  it  seem  likely  that  score  and  class  have  a  deterministic  relationship?    That  
is,  is  it  realistic  to  think  that  once  you  know  the  size  of  a  student’s  graduating  
class  you  know,  with  certainty,  his  or  her  test  score?    Explain. 
Question  4  (Wooldridge  Appendix  B  Question  4):  
For  a  randomly  selected  local  labour  market  area  in  Australia,  let  X  represent  the  
proportion  of  adults  over  age  65  who  are  employed,  i.e.  the  mature  age  employment  
rate.  The  X  is  restricted  to  a  value  between  zero  and  one.    Suppose  the  cumulative  
distribution  function  for  X  is  given  by:   = 3$ − 2%  for  all  0 ≤ ≤ 1.  Find  the  
probability  that  the  mature-­age  employment  rate  is  at  least  0.6  (60%).  
  2  
Question  5:  (Wooldridge  Appendix  C  Question  1):  
Let  ",$,%  and  &  be  independent,  identically  distributed  random  variables  from  a  
population  with  a  mean    and  variance  $.  Let   = "&  (" + $ + % + &)    denote  the  
average  of  these  four  random  variables.  
a.   What  is  the  expected  value  and  variance  of    in  terms  of    and  variance  $?  
b.   Now  consider  a  different  estimator  of  .     = "K  " + "K $ + "& % + "$ &  
This   is   an   example   of   a   weighted   average   of   the   0.   Show   that  W   is   also   a  
weighted  average  of    .    Find  the  variance  of  W.  
c.   Based  on  the  above,  which  estimator  of    do  you  prefer,    or  W?  
Question  6:    
The  following  table  gives  the  joint  probability  density  function  P(X  =  x,Y  =  y)  =  f  (x,  y)    of  
two  random  variables  X  and  Y  :  
Y  
0  
X  
1  
2  
10   0.05   0.3   0.1  
20   0.1   0.25   0.2  
a.   Evaluate  the  marginal  distributions  of  X  and  Y,  fX(x)  and  fY(y).  
b.   Evaluate  E(X)  and  E(Y).  
c.   Find  the  conditional  distribution  f  (X  =  x|Y  =  10)  and  its  mean.  
d.   Compare   E(X)   and   E(X|Y=10).   Are   the   conditional   and   unconditional  
expectations  the  same?  If  no,  why  are  they  different?  
e.   Explain  whether  or  not  X  and  Y  are  statistically  independent.  
Question  7:    
Let  Xi  be  the  random  variable  which  represents  the  return  from  a  stock   i.    There  are  4  
stocks  with  the  mean  and  variance  structure  which  can  summarised  as  follows: 
X1  ∼  (1,  2),                      X2  ∼  (1,  2),                      X3  ∼  (2,  0),                      X4  ∼  (2,  4).  
It  is  also  known  that  
  3  
Cov(X1,  X2)  =  1,                      Cov(X1,  X4)  =  −1,                      Cov(X2,  X4)  =  −1.  
Note   that   the  mean  and   variance   represent   the  mean   return   and   risk   involved  with   a  
stock.  For  example,  the  stock  X3  gives  a  return  of  2  without  any  risk.  
Two  portfolios  are  formed  from  these  stocks:  
A  =  X1  +  X2  +  X3,                                                B  =  X1  +  X2  +  X4.  
Determine  which  portfolio  you  would  prefer  to  hold.  
Question  8:  
There  are  three  types  of  data:  cross  sectional,  time  series,  and  panel  data.  For  
the  following  studies,  what  type  of  data  is  more  appropriate.  
(a)   Analyzing  the  behavior  of  unemployment  rates  across  U.S.  states  in  March  
of  2013.  
(b)   Studying  inflation  in  the  United  States  from  1970  to  2013.  
(c)   Analyzing  the  effect  of  minimum  wage  changes  on  teenage  employment  
across  the  48  contiguous  U.S.  states  from  1980  to  2013.